Przyjmijmy, że f(n) i g(n) są funkcjami (czyli np. czas), dla n→ _∞ , oraz g(n)  jest różna od 0, n będzie parametrem wejściowym, np wielkość tablicy do przetworzenia, długość łańcucha znaków, liczba obiektów itp. Poniżej przedstawiłam część teoretyczną odnośnie najczęściej stosowanych notacji zarówno z naukach matematycznych jak i informatycznych. Na dole znajdziesz wykresy obrazujące przykładowe funkcje.

A więc zaczynamy.

Notacja O

(Czytaj „notacja duże O” lub „ograniczenie górne”)

Zapisujemy jako: f(n) = O(g(n))

Taki zapis oznacza, że f jest co najwyżej rzędu g, czyli istnieje taka stała c, że:

|f(n)| ≤ c · |g(n)|

Czyli funkcja g(n) jest ograniczeniem górnym dla f (n).

• Jak sprawdzić, czy f(n) = O(g(n)) ?

Upewniamy się, że

a konkretniej

Przykładowy wykres:

Notacja Ω

(Czytaj „notacja duże omega” lub „ograniczenie dolne”)

Zapisujemy jako: f(n) = Ω(g(n))

Taki zapis oznacza, że f jest co najmniej rzędu g, czyli istnieje taka stała c, że:

|f(n)| ≥ c ·| g(n)|

Czyli funkcja g(n) jest ograniczeniem dolnym dla f (n).

• Jak sprawdzić, czy f(n) = Ω(g(n)) ?

Upewniamy się, że

Notacja Θ

(Czytaj „notacja kanapkowa” lub „teta”)

Zapisujemy jako: f(n) = Θ(g(n))

Taki zapis oznacza, że f jest tego samego rzędu co g, czyli istnieją takie stałe c₁ i c₂ że:

c₁ · |g(n)| ≤ |f(n)| ≤ c₂ · |g(n)|

Czyli funkcja g(n) jest ograniczeniem górnym dla f (n).

• Jak sprawdzić, czy f(n) = Θ(g(n)) ?

Upewniamy się, że lub konkretniej

Notacja o

(Czytaj „notacja małe o”)

Zapisujemy jako: f(n) = o(g(n))

Taki zapis oznacza, że f jest rzędu mniejszego niż rząd g, czyli istnieje taka stała c, że:

|f(n)| < c · |g(n)|

• Jak sprawdzić, czy f(n) = o(g(n)) ?

Upewniamy się, że (o ile granica istnieje)

Notacja ω

(Czytaj „notacja małe omega”)

Zapisujemy jako: f(n) = o(g(n))

Taki zapis oznacza, że f jest rzędu większego niż rząd g, czyli istnieje taka stała c, że:

|f(n)| > c · |g(n)|

• Jak sprawdzić, czy f(n) = o(g(n)) ?

Upewniamy się, że (o ile granica istnieje)

Notacja ~

(Czytaj „notacja falka”)

Zapisujemy jako: f(n) ~ g(n)

Taki zapis oznacza, że nie tylko f jest rzędu równego co g, ale też, że f bardzo przypomina g.

• Jak sprawdzić, czy f(n) ~ g(n) ?

Upewniamy się, że

Wszystkie 5 najważniejszych notacji można przedstawić na schemacie:

Funkcje można uszeregować zgodnie ze wzrastającą złożonością:

f(n) = O(1) – funkcja f(n) jest ograniczona przez funkcję stałą
f(n) = O(log n) – funkcja f(n) jest ograniczona przez funkcję logarytmiczną

f(n) = O(√n)

f(n) = O(log² n)
f(n) = O(n) – funkcja f(n) jest ograniczona przez funkcję liniową
f(n) = O(n log n)
f(n) = O(n^k) – funkcja f(n) jest ograniczona przez funkcję potęgową lub wielomian
f(n) = O(aⁿ) – funkcja f(n) jest ograniczona przez funkcję wykładniczą
f(n) = O(n!) – funkcja f(n) jest ograniczona przez silnię

f(n) = O(nⁿ) – funkcja f(n) jest ograniczona przez funkcję potęgowo-wykładniczą

A oto przykładowe wykresy dla zrozumienia o czym mowa.

Dla obliczeń zastosowałam podstawę logarytmu = 2.

Zwróć uwagę, że funkcje √n i log(n) dla niewielkich n przyjmują prawie identyczne wartości. Jednak rząd funkcji √n jest większy od logarytmicznej. Podobną sytuację mamy dla funkcji liniowej n oraz log²n (log(n)*log(n)).

Z racji odmiennej skali przyjmowanych wartości postanowiłam umieścić 3 ostatnie funkcje na osobnym wykresie:

Jak widzisz, dla stosunkowo niewielkich n, wartości funkcji wyrażają się w milionach. Funkcja nⁿ to funkcja o najwyższej urzędowości jaką udało mi się znaleźć.  Oczywiście można by rozważyć taki twór jak n!^n! ale nie wiem, czy spotyka się go w realnych zastosowaniach informatycznych.